수치 해석학
- 어떤 함수나 방정식이 해를 컴퓨터를 이용해 수치적으로 근사해서 구하는 알고리즘에 대한 연구를 하는 학문이다. 쉽게 말해 추측을 컴퓨터에게 반복을 시켜 오차를 줄여나가는 과목. 유체역학 실시간 모델링 분야와 같이 실시간 모델링 분야에 많이 사용되고, AI와 BigData 등 데이터 사이언스의 부상으로 중요성이 부각되었다.
수치해석이 쉽지 않은 이유는,
컴퓨터는 고성능 계산기로 계산을 하는 기계일 뿐이다.
컴퓨터가 다루는 수는 Bits(2진수)를 사용하며, 유한한 길이를 가지는 구조
컴퓨터가 다루는 계산 문제의 대부분은 Real Number(실수)를 다룬다.
따라서 필연적으로 오차가 발생하고, 이 오차를 줄이는 것이 관건이다.
예를 들어) 자유낙하 운동에 대해서 해석적 방법과 수치해석적 방법의 차이를 살펴보자면
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| Analyical Solution 해석적 방법 | Numerical Methods 수치해석적 방법 |
해석적 방법에 비해 수치해석적 방법은 오차가 발생한다.
t가 2인 상황에서 실제 v는 16.40이지만 수치해석적으로 접근하였을 때는 19.60으로 3.20의 오차가 발생하였다.
그러나 이것을 계속해서 반복하여
t가 12가 되었을 대는 실제 v는 47.49, 수치해석적으로 ㅈ버근하였을 때는 49.96으로 2.47으로 오차가 감소하였다.
이를 계속해서 진행하였을 때 실제값과 수치해석적 접근 시에 오차는 0에 수렴하며 실제값에 가까워진다.
※수치해석은 오차와의 전쟁이다!
오차
수치해석의 주요 오차 종류 2가지
- Round-Off Error : 컴퓨터가 유한한 길이와 2진법을 사용해 실수를 다루기 때문에 나타나는 오차
- Truncation Error : 정확한 수식 이기전에 컴퓨터가 계산하기 편한 수식으로 근삿값을 얻기에 발생하는 오차
오차를 파악하기 위해서는 어디까지가 의미 있는 숫자인지 유효숫자의 개념을 이해해야 한다.
Significant Digits ( 유효숫자 ) : 얻어진 측정값의 숫자 중 어디까지가 의미 있는지를 나타내는 척도다.
- 0은 소수점(Decimal Point)을 찾는데 필요할 수 이기 때문에 항상 유효숫자인 것은 아니다.
- 0.0001845, 0.001845 그리고 0.01845 이 3개의 숫자는 모두 4개의 유효숫자를 가진다.
- 45,300과 같은 수에서 유효숫자는 3,4,5 중 하나로 인정하는 0에 따라 달렸다.
4.53 × 10^4, 4.530 × 10^4 그리고 4.5300 × 10^4처럼 표현이 다르다.
이 유효숫자가 가지는 두 가지 의미.
1. 유효숫자로 정확한 부분을 파악한다면 우리의 근사치가 수용 가능한지 결정할 수 있다.
2. 수학에서 √, ∂, e, π와 같은 식들도 유한한 유효숫자로 표현이 불가능하다. 유한하게 유효숫자로 표현하여 생기는 오차가 발생할 수밖에 없다.
다음 포스팅에서는
Round-Off Error와 Truncation Error에 대해서 다룰 예정입니다.
감사합니다.