[수치해석 / Colab] Python프로그래밍 Sin, Cos, 자연로그 함수 테일러 전개

Sin, Cos, 자연로그 함수 테일러 전개식을 Python으로 구현해보자

 

Sin, Cos, 자연로그 함수의 테일러 전개는 다음과 같다.

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# n 차수 Taylor Series

# Sin(x)
def func_sin( x,n ) :
  approx_sin = 0
  for i in range(n):
    coef = (-1)**i
    denom = math.factorial(2*i+1)
    num = x**(2*i+1)
    
    approx_sin += coef * num / denom
  return approx_sin

# Cos(x)
def func_cos( x, n ) : 
  approx_cos = 0;
  for i in range (n) :
    coef = (-1)**i
    denom = math.factorial(2*i)
    num = x**(2*i)

    approx_cos += coef * num / denom
  return approx_cos

# e^x
def func_e( x, n ) :
  approx_e = 0
  for i in range( n ) :
    coef = 1
    denom = math.factorial( i )
    num = x**i

    approx_e += coef * num / denom
  return approx_e

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Taylor Series - 3 Terms Sin, Cos 함수 그래프를 그려보자

함수가 만들었다면 3 차수 Taylor 함수 그래프를 그려보자.

# 그래프로 나타내보자
angles = np.arange( -2*np.pi, 2*np.pi, 0.1)

# 진짜 sin함수인 p_sin 과 우리가 만든 테일러 급수 t_sin
p_sin = np.sin(angles)
t_sin = [func_sin(angle,3) for angle in angles]

# 진짜 cos수인 p_cos 과 우리가 만든 테일러 급수 t_cos
p_cos = np.cos(angles)
t_cos = [func_cos(angle,3) for angle in angles]

# Sin 함수
fig, g1 = plt.subplots()
g1.plot(angles,p_sin)
g1.plot(angles,t_sin)
g1.set_ylim([-5,5])
g1.legend(['sin() function','Taylor Series - 3 terms'])

# Cos 함수
fig, g2 = plt.subplots()
g2.plot(angles,p_cos)
g2.plot(angles,t_cos)
g2.set_ylim([-5,5])
g2.legend(['cos() function','Taylor Series - 3 terms'])

plt.show()

[참고]  ax.set_ylim([-5,5]) 를 함으로써 y의 범위를 축소시켜 관찰할 수 있는데, 이를 설정하지 않았을 경우

아래의 그림과 상당히 큰 y값 사이에서 진동하는 모습을 관찰 할 수가 없을 것이다.

 

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Taylor Series - n Terms : Sin, Cos함수와 1 ~ 6 Terms 함수 비교

앞에서 만들어둔 func_cos( x, n ) 함수를 활용하여

1 ~ 5 차수까지의 Cos Taylor 함수를 그래프에 그려서 비교해보자.

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

angles = np.arange( -2*np.pi, 2 * np.pi, 0.1)
p_cos = np.cos( angles )
p_sin = np.sin ( angles )

fig, g1 = plt.subplots()
g1.set_ylim([-7,3])
g1.plot(angles, p_sin)

fig, g2 = plt.subplots()
g2.set_ylim([-7,3])
g2.plot( angles,p_cos )

# 1차수부터 5차수 까지의 Sin Taylor Series
for n in range ( 1, 6 ) :
  t_sin = [func_sin(angle, n) for angle in angles]
  g1.plot(angles, t_sin)

# 1차수부터 5차수 까지의 Cos Taylor Series
for n in range( 1, 6 ):
  t_cos = [func_cos( angle, n ) for angle in angles]
  g2.plot( angles,t_cos )

plt.show()

[참고] 관찰하기 편하도록 set_ylim([ -7, 3 ])로 지정해 주었습니다.

 

작업한 Colab 주소

Google Colaboratory Notebook